已知A为奇数阶实矩阵，设阶数为n，且对于任一n维列向量X，均有XTAX=0，则有（）。A. 丨A丨>0 B. 丨A丨=0 C. 丨A丨 D. 以上三种都有可能

admin2020-12-24 7

问题已知A为奇数阶实矩阵，设阶数为n，且对于任一n维列向量X，均有XTAX=0，则有（）。

选项 A. 丨A丨>0
B. 丨A丨=0
C. 丨A丨
D. 以上三种都有可能

答案B

解析由于对任一n维列向量均有XTAX=0，两边转置，有XTATX=0，从而XT（A+AT）X=0。显然有（A+AT）T=A+AT，即A+AT为对称矩阵。从而对任一n维列向量均有：XT「（A+AT）X=0，A+AT为实对称矩阵，从而有A+AT=0。即AT=-A，从而A为实反对称矩阵，且A为奇数阶，故丨A丨=0。

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