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设，在x=0连续，且对任何x,y∈R有f(x﹢y)＝f(x)﹢f（y） 证明：

题库总管2019-12-17  33
问题 设，在x=0连续，且对任何x,y∈R有f(x﹢y)＝f(x)﹢f（y）证明：(1)f在R上连续；(2)f(x)＝xf(1)。
选项
答案
解析(1)因f(0) ＝f(0＋0)＝f(0) ＋f(0) ＝2f(0)，所以f(0)=0。又对任意算∈(一∞，+∞)有△y=f(x＋△x) －f(x) ＝f(x) ＋f(△x) －f(x) ＝f(△x)[img]/upload/tiku/438/7045457_1.png[/img](2)先证对任意有理数r，都有以rx)=rf(x)。事实上，令y=x，得以2x)=2f(x)，由数学归纳法[img]/upload/tiku/438/7045457_1_1.png[/img]
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