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  3. 在一张正方形的纸片上，有 900 个点，加上正方形的 4 个顶点，共有 904 个点。这些点中任意 3 个点不共线，将这纸剪成三角形，每个三角形的三个点是...

在一张正方形的纸片上，有 900 个点，加上正方形的 4 个顶点，共有 904 个点。这些点中任意 3 个点不共线，将这纸剪成三角形，每个三角形的三个点是...

admin2020-12-24  14
问题 在一张正方形的纸片上，有 900 个点，加上正方形的 4 个顶点，共有 904 个点。这些点中任意 3 个点不共线，将这纸剪成三角形，每个三角形的三个点是这 904 个点中的点，每个三角形都不含这些点。可以剪多少个三角形？共剪多少刀？
选项
答案1802、2701
解析解析：（方法一）可以从最简单的情况考虑，假设开始正方形中一的点都没有，在其中任意加上一点,然后将这点分别与正方形的四个顶点连起来,若顺着4条连线剪下就能得到4个三角形.若再加上一个点,因为不存在三点共线,所以这点一定在原来的某个三角形区域D中,将它与 D 的三个顶点相连,这样就增加了三条线,若沿线剪下就把 D 分成了 3 个小三角形,即增加了 2 个三角形.依次类推,以后每加一个点就与包含它的最小三角形区域 Di的顶点连起来,再沿连线剪开,直到第 900个点也这样处理. 这样一来就得到题目说的那种情况,增加第1个点时出现了4个三角形,4条连线,以后每增加一个点就会出现2个三角形和3条连线.所以900个点就有4+2899=1802个三角形, 一共要剪 4+3899=2701 刀.方法 2）也可以这样想：先沿正方形的对角线把它剪成 2 个三角形，之后，在任意一个三角形内增加一个点，它与三角形的三个顶点相边可以构成三个三角形，增加了 2 个，所以，共可以剪下：9002＋2＝1802 个三角形；剪的刀数：剪正方形剪成２个三角形需要剪一刀，之后，每增加一个点都需要剪三刀，所以，共需要剪：9003＋1＝2701 刀。
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