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在一张正方形的纸片上,有 900 个点,加上正方形的 4 个顶点,共有 904 个点。这些点中任意 3 个点不共线,将这纸剪成三角形,每个三角形的三个点是...
在一张正方形的纸片上,有 900 个点,加上正方形的 4 个顶点,共有 904 个点。这些点中任意 3 个点不共线,将这纸剪成三角形,每个三角形的三个点是...
admin
2020-12-24
23
问题
在一张正方形的纸片上,有 900 个点,加上正方形的 4 个顶点,共有 904 个点。这些点中任意 3 个点不共线,将这纸剪成三角形,每个三角形的三个点是这 904 个点中的点,每个三角形都不含这些点。可以剪多少个三角形?共剪多少刀?
选项
答案
1802、2701
解析
解析:(方法一)可以从最简单的情况考虑,假设开始正方形中一的点都没有,在其中任意加上一点,然后将这点分别与正方形的四个顶点连起来,若顺着4条连线剪下就能得到4个三角形.若再加上一个点,因为不存在三点共线,所以这点一定在原来的某个三角形区域D中,将它与 D 的三个顶点相连,这样就增加了三条线,若沿线剪下就把 D 分成了 3 个小三角形,即增加了 2 个三角形.依次类推,以后每加一个点就与包含它的最小三角形区域 Di的顶点连起来,再沿连线剪开,直到第 900个点也这样处理. 这样一来就得到题目说的那种情况,增加第1个点时出现了4个三角形,4条连线,以后每增加一个点就会出现2个三角形和3条连线.所以900个点就有4+2899=1802个三角形, 一共要剪 4+3899=2701 刀.方法 2)也可以这样想:先沿正方形的对角线把它剪成 2 个三角形,之后,在任意一个三角形内增加一个点,它与三角形的三个顶点相边可以构成三个三角形,增加了 2 个,所以,共可以剪下:9002+2=1802 个三角形;剪的刀数:剪正方形剪成2个三角形需要剪一刀,之后,每增加一个点都需要剪三刀,所以,共需要剪:9003+1=2701 刀。
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