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设A是一个mxn矩阵,证明:矩阵A的行空间维数等于它的列空间维数。
设A是一个mxn矩阵,证明:矩阵A的行空间维数等于它的列空间维数。
admin
2020-12-24
50
问题
设A是一个mxn矩阵,证明:矩阵A的行空间维数等于它的列空间维数。
选项
答案
解析
证明
设矩阵行空间的维数为r,列空间维数为rl’ α1,α2,…αn为矩阵A的行向量组,不妨设αl,α2,…αγ为一组基所以方程组
只有零解.
即线性方程绸
只有零解,
则其系数矩阵
的行向量空间的维数≥r, 因此它的行向量组可以找到r个线性无关的向量,不妨设为
也线性无关.它们正好是矩阵A的r个列向量,则矩阵A的列空间的维数r。≥r。 同理可证r≥rl,所以r=n,即矩阵A行空间的维数等于它列空间的维数。
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