设A是一个mxn矩阵，证明：矩阵A的行空间维数等于它的列空间维数。

admin2020-12-24 24

问题设A是一个mxn矩阵，证明：矩阵A的行空间维数等于它的列空间维数。

选项

答案

解析证明

设矩阵行空间的维数为r，列空间维数为rl’ α1，α2，…αn为矩阵A的行向量组，不妨设αl，α2，…αγ为一组基所以方程组

只有零解．

即线性方程绸

只有零解，

则其系数矩阵

的行向量空间的维数≥r，因此它的行向量组可以找到r个线性无关的向量，不妨设为

也线性无关．它们正好是矩阵A的r个列向量，则矩阵A的列空间的维数r。≥r。同理可证r≥rl，所以r=n，即矩阵A行空间的维数等于它列空间的维数。

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