设A是n阶矩阵，且Ak=0（k为正整数），则（）。A. A—定是零矩阵 B. A有不为0的特征值 C. A的特征值全为0 D. A有n个线性无关的特征向量

admin2020-12-24 46

问题设A是n阶矩阵，且Ak=0（k为正整数），则（）。

选项 A. A—定是零矩阵
B. A有不为0的特征值
C. A的特征值全为0
D. A有n个线性无关的特征向量

答案C

解析设λ是A的特征值，对应的特征向量为α，则有Aα=λα Akα=λκα=0由α≠0，有λκ=0，即λ=0，故A的特征值全为0。

则A2=0。若A有n个线性无关的特征向量，则A可对角化，即存在可逆矩阵P，使得P-1AP=0，则必有A=0，与题意矛盾。

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