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设A是n阶矩阵,且Ak=0(k为正整数),则()。A. A—定是零矩阵 B. A有不为0的特征值 C. A的特征值全为0 D. A有n个线性无关的特征向量
设A是n阶矩阵,且Ak=0(k为正整数),则()。A. A—定是零矩阵 B. A有不为0的特征值 C. A的特征值全为0 D. A有n个线性无关的特征向量
admin
2020-12-24
49
问题
设A是n阶矩阵,且Ak=0(k为正整数),则()。
选项
A. A—定是零矩阵
B. A有不为0的特征值
C. A的特征值全为0
D. A有n个线性无关的特征向量
答案
C
解析
设λ是A的特征值,对应的特征向量为α,则有Aα=λα Akα=λκα=0由α≠0,有λκ=0,即λ=0,故A的特征值全为0。
则A2=0。若A有n个线性无关的特征向量,则A可对角化,即存在可逆矩阵P,使得P-1AP=0,则必有A=0,与题意矛盾。
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