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  3. 已知函数f（x，y）在点（0，0）的某个邻域内连续，，则（）。A.点（0，0）不是f（x，y）的极值点 B.点（0，0）是f（x，y）的极大值点 C.点（0，0

已知函数f（x，y）在点（0，0）的某个邻域内连续，，则（）。A.点（0，0）不是f（x，y）的极值点 B.点（0，0）是f（x，y）的极大值点 C.点（0，0

admin2020-12-24  52
问题 已知函数f（x，y）在点（0，0）的某个邻域内连续，，则（）。
选项 A.点（0，0）不是f（x，y）的极值点
B.点（0，0）是f（x，y）的极大值点
C.点（0，0）是f（x，y）的极小值点
D.根据所给条件无法判断点（0，0）是否为f（x，y）的极值点
答案A
解析由题设，容易推知f（0，0）=0，因此点（0，0）是否为f（x，y）的极值点，关键看在点（0，0）的充分小的邻域内f（x，y）是恒大于零、恒小于零还是变号。 ，由此可知，分子的极限必为零，从而有f（0，0）=0，且f（x，y）-xy≈（x2+y2）2（丨x丨，丨y丨充分小时），于是f（x，y）-f（0，0）≈xy+（x2+y2）2。 可见当y=x且丨x丨充分小时，f（x，y）-f（0，0）≈x2+4x4>0； 而当y=-x且丨x丨充分小时，f（x，y）-f（0，0）≈-x2+4x4故点（0，0）不是f（x，y）的极值点。
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