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已知函数f(x,y)在点(0,0)的某个邻域内连续,,则()。A.点(0,0)不是f(x,y)的极值点 B.点(0,0)是f(x,y)的极大值点 C.点(0,0
已知函数f(x,y)在点(0,0)的某个邻域内连续,,则()。A.点(0,0)不是f(x,y)的极值点 B.点(0,0)是f(x,y)的极大值点 C.点(0,0
admin
2020-12-24
55
问题
已知函数f(x,y)在点(0,0)的某个邻域内连续,
,则()。
选项
A.点(0,0)不是f(x,y)的极值点
B.点(0,0)是f(x,y)的极大值点
C.点(0,0)是f(x,y)的极小值点
D.根据所给条件无法判断点(0,0)是否为f(x,y)的极值点
答案
A
解析
由题设,容易推知f(0,0)=0,因此点(0,0)是否为f(x,y)的极值点,关键看在点(0,0)的充分小的邻域内f(x,y)是恒大于零、恒小于零还是变号。
,由此可知,分子的极限必为零,从而有f(0,0)=0,且f(x,y)-xy≈(x2+y2)2(丨x丨,丨y丨充分小时),于是f(x,y)-f(0,0)≈xy+(x2+y2)2。 可见当y=x且丨x丨充分小时,f(x,y)-f(0,0)≈x2+4x4>0; 而当y=-x且丨x丨充分小时,f(x,y)-f(0,0)≈-x2+4x4故点(0,0)不是f(x,y)的极值点。
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