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设A为n阶矩阵,则A以零为其特征值是A为奇异矩阵(即 A =0)的: A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.既非充分也非必要条件 D....
设A为n阶矩阵,则A以零为其特征值是A为奇异矩阵(即 A =0)的: A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.既非充分也非必要条件 D....
admin
2020-12-24
35
问题
设A为n阶矩阵,则A以零为其特征值是A为奇异矩阵(即 A =0)的:
A.充分非必要条件
B.必要非充分条件
C.既非充分也非必要条件
D.充分必要条件
选项
答案
D
解析
提示:可通过下面证明说明。充分性:若矩阵A有特征值0→矩阵A奇异(即 A =0),若λ=0为矩阵A的特征值,则存在非零向量a,使Aa=0a,Aa=0,即齐次线性方程组Ax =0有非零解,故 A =0,故矩阵A为奇异矩阵。 必要性:若矩阵A是奇异矩阵,即 A =0→λ=0是矩阵A的特征值,已知A是奇异矩阵, A =0,取λ=0,有 A-λE = A-0E= A =0,λ=0,满足特征方程 A-λE =0,故λ=0 是矩阵A的特征值。
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