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2006盏亮着的电灯,各有一个开关控制,按顺序编号为1,2,…,2006。将编号为2的倍数的灯的开关各按一下,再将编号为3的倍数的灯的开关各按一下,最后将...
2006盏亮着的电灯,各有一个开关控制,按顺序编号为1,2,…,2006。将编号为2的倍数的灯的开关各按一下,再将编号为3的倍数的灯的开关各按一下,最后将...
admin
2020-12-24
49
问题
2006盏亮着的电灯,各有一个开关控制,按顺序编号为1,2,…,2006。将编号为2的倍数的灯的开关各按一下,再将编号为3的倍数的灯的开关各按一下,最后将编号为5的倍数的灯的开关各按一下。按完后亮着的灯有多少盏?( )
选项
A.1000
B.1002
C.1004
D.1006
答案
C
解析
因为灯在开始的时候是亮着的,所以按过两次或者没按过的灯最后还是亮的。本题实际上是求1到2006中不能被2、3、5整除的数和只能同时被2、3、5中两个数整除的数的总个数。能被2整除的有2006÷2=1003盏,能被3整除的数有2006÷3=668……2,共668盏,能被5整除的数有2006÷5=401……1,共401盏;其中,同时被2、3整除的数有2006÷(2x3)=334……2,共334盏,同时被3.5整除的数有2006÷(3x5)=133……11,共133盏,同时被2、5整除的数有2006÷(2×5)=200……6,共200盏,同时被2、3、5整除的数有2006÷(2×3×5)=66……26,共66盏,所以,只能同时被2、3、5中两个数整除的有334+133+200-3×66=469盏;不能被2、3、5整除的有2006-[(1003+668+401)-(334+133+200)+66]=535盏。故最后亮着的灯有469+535=1004盏。
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