n元二次型XTAX是正定的充分必要条件是（）。A. 丨A丨>0 B. 存在n维非零向量X，使得XTAX>0 C. f的正惯性指数p=n D. f的负惯性指数q=

admin2020-12-24 57

问题 n元二次型XTAX是正定的充分必要条件是（）。

选项 A. 丨A丨>0
B. 存在n维非零向量X，使得XTAX>0
C. f的正惯性指数p=n
D. f的负惯性指数q=0

答案C

解析A>0是A正定的必要条件，不是充分条件，必须保证A的所有顺序主子式全大于0，才能推出XTAX是正定的，排除A。二次型XTAX正定的充分必要条件是对任意的n维非零向量X，均有XTAX＞0，而并非仅仅是存在，排除B。在D中，f的负惯性指数等于0，可保证XTAX为非负定二次型，但不能确保是正定二次型。

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