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χ=p/q是整系数方程3χ3+bχ2+cχ+8=0的根,其中p,q互素,证明:p整除8,q整除3。
χ=p/q是整系数方程3χ3+bχ2+cχ+8=0的根,其中p,q互素,证明:p整除8,q整除3。
admin
2020-12-24
25
问题
χ=p/q是整系数方程3χ3+bχ2+cχ+8=0的根,其中p,q互素,证明:p整除8,q整除3。
选项
答案
解析
证明:由已知可得,整系数方程3x3+bx2+cx+8=0可分解为 (qx-p)(lx2+mx+n)=0,其中l,m,n均为整数, 展开后,得lqx3+(mq-lp)x2+(nq-mp)x-np=0 与原方程比较得,lq=3,-np=8。 因为l,m均为整数,所以P整除8,q整除3。
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